一、高中数学的数列问题
按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成
简记为｛an｝，项数有限的数列为“有限数列”（finite sequence），项数无限的数列为“无限数列”（infinite sequence）。
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；
各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；
各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；
通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）为定义域的函数an=f(n)。
如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).
如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1
如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1(n>1)
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k-1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar*2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
(5)等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金，
在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(即A-Aq^n)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。
化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
在等差数列中，总有Sn S2n-n S3n-2n
即三者是等比数列,同样在等比数列中。三者成等差数列
1,2,3,4,5,6,7,8.......---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,.........------an=（10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
通项公式an=a1+(n-1)d首项a1,公差d, an第n项数
若a,A,b构成等差数列则 A=(a+b)/2
还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2累加法 3倒序相加法
通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
(2)a,G,b若构成等比中项,则G^2=ab(a,b,G不等于0)
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推倒的,这时可能要直接从基本公式推倒过去,所以希望这个公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
求和一般有以下4个方法: 1,不完全归纳法 2累乘法 3错位求和法
二、一题高中数学题(又是数列)
你也说了是一个数列问题，设数列｛an｝表示由第n天的维修保养费构成的一个数列
那么an=（n+49）/10，“报废最合算是指使用的这台机器的平均耗资最少”，
这个问题中机器的小号总和包含两个部分，一个是Sn，还有一个是那个3.2万
所以这个问题也就是问当n取多少时，（Sn+32000）/n什么时候最小的问题，解决过程
要用到等差数列求和和基本不等式，你可以自己去完成
三、数学数列的几个题
1.解：根据等差数列的性质，有S(2n-1)=(2n-1)An。（用文字叙述，即等差数列连续奇数项之和等于项数乘以中间项，这可是高考重点，务必熟悉！）
于是An/Bn=(2n-1)An/(2n-1)Bn=S(2n-1)/P(2n-1)=[7(2n-1)+45]/[(2n-1)+3]=(7n+19)/(n+1)=7+12/(n+1)
要使An/Bn为整数，则n+1应该是12的约数，又n是正整数，所以
n+1=2,3,4,6,12，即n=1,2,3,4,11
故：所求的正整数n的值为1，2，3，4，11。
2.解：因为三个数成等差数列，所以可设为x-d，x，x+d。
由它们和为15，可得(x-d)+x+(x+d)=15，即3x=15，解得x=5
又因为它们得平方和是83，所以(5-d)^2+5^2+(5+d)^2=83，解得：d±2
令n=3，有A3=1/A2+1=1/2+1=3/2；
令n=4，有A4=1/A3+1=2/3+1=5/3，
则由1/[A(n-1)]+1/[A(n+1)]=2/An，可得B(n-1)+B(n+1)=2Bn，
即Bn-B(n-1)=B(n+1)-Bn，因此{Bn}是等差数列，设其公差为d。
又B1=1/A1=1，B2=1/A2=3/2，因此d=B2-B1=1/2
于是Bn=B1+(n-1)d=1+(n-1)×1/2=(n+1)/2，那么An=1/Bn=2/(n+1)
5：解：（1）由An=2A(n-1)+2^n-1
令n=4，有A4=2A3+2^4-1，即A4=2A3+15，
将A4=81代入上式，可求得A3=33；
令n=3，有A3=2A2+2^3-1，即A3=2A2+7，
将A3=33代入上式，可求得A2=13；
令n=2，有A2=2A1+2^2-1，即A2=2A1+3，
故：所求A1，A2，A3的值分别为5，13，33。
则B1=(A1+p)/2=(5+p)/2，B2=(A2+p)/4=(13+p)/4，B3=(A3+p)/8=(33+p)/8。
若{Bn}为等差数列，则2B2=B1+B3，即2×(13+p)/4=(5+p)/2+(33+p)/8，解得：p=-1
以下验证p=-1时，数列｛(An+P)/2^n｝确实为等差数列。
由An=2A(n-1)+2^n-1，可得An-1=2A(n-1)+2^n-2，即An-1=2[A(n-1)-1]+2^n
将上式两边同时除以2^n，可得：(An-1)/2^n=[A(n-1)-1]/2^(n-1)+1
这就意味着，数列｛(An-1)/2^n｝是公差d=1的等差数列。
（3）由（2）可知数列｛Bn｝是公差d=1的等差数列，且易求得B1=(5+p)/2=2
因此Bn=B1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1，即(An-1)/2^n=n+1，整理得：An=(n+1)2^n+1
故：所求{An}的通项公式为An=(n+1)2^n+1。
文章到此结束，如果本次分享的河北中专数列数学题和职高高考数学真题卷的问题解决了您的问题，那么我们由衷的感到高兴！
